What is (k+q)^2e^{-iqa}+(k-q)^2e^{iqa} ?

The solution to (k+q)^2e^{-iqa}+(k-q)^2e^{iqa} is (2q^2cos(aq)+2k^2cos(aq))-4ikqsin(aq)

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simplify (k+q)^2e^{-iqa}+(k-q)^2e^{iqa}

simplify

(k + q)^{2} e^{- i q a} + (k - q)^{2} e^{i q a}

(2 q^{2} cos (a q) + 2 k^{2} cos (a q)) - 4 ik q sin (a q)

Solution steps

(k + q)^{2} e^{- i q a} + (k - q)^{2} e^{i q a}

e^{- i q a} = cos (a q) - i sin (a q)

= (q + k)^{2} (cos (a q) - i sin (a q)) + e^{ia q} (- q + k)^{2}

e^{i q a} = cos (a q) + i sin (a q)

= (q + k)^{2} (cos (a q) - i sin (a q)) + (- q + k)^{2} (cos (a q) + i sin (a q))

= (k + q)^{2} (cos (a q) - i sin (a q)) + (k - q)^{2} (cos (a q) + i sin (a q))

(k + q)^{2} : k^{2} + 2 k q + q^{2}

= (k^{2} + 2 k q + q^{2}) (cos (q a) - i sin (q a)) + (k - q)^{2} (cos (q a) + sin (q a) i)

(k - q)^{2} : k^{2} - 2 k q + q^{2}

= (k^{2} + 2 k q + q^{2}) (cos (q a) - i sin (q a)) + (k^{2} - 2 k q + q^{2}) (cos (q a) + sin (q a) i)

Expand

(k^{2} + 2 k q + q^{2}) (cos (q a) - i sin (q a)) : k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q)

= k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q) + (k^{2} - 2 k q + q^{2}) (cos (q a) + sin (q a) i)

Expand

(k^{2} - 2 k q + q^{2}) (cos (q a) + sin (q a) i) : k^{2} cos (a q) + i k^{2} sin (a q) - 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) + i q^{2} sin (a q)

= k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q) + k^{2} cos (a q) + i k^{2} sin (a q) - 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) + i q^{2} sin (a q)

Simplify

k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q) + k^{2} cos (a q) + i k^{2} sin (a q) - 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) + i q^{2} sin (a q) : 2 q^{2} cos (a q) - 4 ik q sin (a q) + 2 k^{2} cos (a q)

= 2 q^{2} cos (a q) - 4 ik q sin (a q) + 2 k^{2} cos (a q)

Rewrite

2 q^{2} cos (a q) - 4 ik q sin (a q) + 2 k^{2} cos (a q)

in standard complex form:

(2 q^{2} cos (a q) + 2 k^{2} cos (a q)) - 4 k q sin (a q) i

= (2 q^{2} cos (a q) + 2 k^{2} cos (a q)) - 4 k q sin (a q) i

(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) sin (y) d x + x^{2} e^{x} cos (y) d y

\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} + 6 x + 6}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}}

(2 sin (x) - sin (2 x)) csc^{2} (\frac{x}{2})

(x + 2 y)^{2}

\frac{s}{( s - 1 ) ( s + 1 )}

What is (k+q)^2e^{-iqa}+(k-q)^2e^{iqa} ?
The solution to (k+q)^2e^{-iqa}+(k-q)^2e^{iqa} is (2q^2cos(aq)+2k^2cos(aq))-4ikqsin(aq)