integral of sin^2((npix)/a)

解

\int sin^{2} (\frac{nπ x}{a}) d x

\frac{1}{2} (x - \frac{a}{2 πn} sin (\frac{2 πn x}{a})) + C

解答ステップ

\int sin^{2} (\frac{nπ x}{a}) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (1 - cos (\frac{2 πn x}{a})) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (\frac{2 πn x}{a}) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d x - \int cos (\frac{2 πn x}{a}) d x)

\int 1 d x = x

\int cos (\frac{2 πn x}{a}) d x = \frac{a}{2 πn} sin (\frac{2 πn x}{a})

= \frac{1}{2} (x - \frac{a}{2 πn} sin (\frac{2 πn x}{a}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (x - \frac{a}{2 πn} sin (\frac{2 πn x}{a})) + C