Популярный >

интеграл от x^2sqrt(36-x^2)

Решение

\int x^{2} 36 - x^{2} d x

162 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{6} x))) + C

Шаги решения

\int x^{2} 36 - x^{2} d x

Примените тригонометрическую подстановку

: \int 1296 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

= \int 1296 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 1296 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 1296 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 1296 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 1296 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 1296 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Делаем обратную замену

u = arcsin (\frac{1}{6} x)

= 1296 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{6} x)))

Упростите

1296 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{6} x))) : 162 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{6} x)))

= 162 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{6} x)))

Добавить константу к решению

= 162 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{6} x))) + C