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integral of cos^2(x)tan^3(x)

解

\int cos^{2} (x) tan^{3} (x) d x

- ln ∣ cos (x) ∣ + \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + C

解答ステップ

\int cos^{2} (x) tan^{3} (x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{( 1 - cos ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )} d x

u置換積分法を適用する

: \int - \frac{1 - u ^{2}}{u} d u

= \int - \frac{1 - u ^{2}}{u} d u

拡張

- \frac{1 - u ^{2}}{u} : - \frac{1}{u} + u

= \int - \frac{1}{u} + u d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{u} d u + \int u d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

= - ln ∣ u ∣ + \frac{u ^{2}}{2}

代用を戻す

u = cos (x)

= - ln ∣ cos (x) ∣ + \frac{cos ^{2} ( x )}{2}

定数を解答に追加する

= - ln ∣ cos (x) ∣ + \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + C