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integral of ((e^{-(2y)/x}y^3)/(x^4))

Solution

\int (\frac{e ^{- \frac{2 y}{x}} y ^{3}}{x ^{4}}) d x

\frac{y ^{2} e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x ^{2}} + \frac{y e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x} + \frac{1}{4} e^{- \frac{2 y}{x}} + C

Solution steps

\int \frac{e ^{- \frac{2 y}{x}} y ^{3}}{x ^{4}} d x

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{3} \cdot \int \frac{e ^{- \frac{2 y}{x}}}{x ^{4}} d x

Apply u-substitution

: \int - \frac{e ^{- u} u ^{2}}{8 y ^{3}} d u

= y^{3} \cdot \int - \frac{e ^{- u} u ^{2}}{8 y ^{3}} d u

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} \cdot \int e^{- u} u^{2} d u)

Apply Integration By Parts

: - e^{- u} u^{2} - \int - 2 e^{- u} u d u

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - \int - 2 e^{- u} u d u))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - (- 2 \cdot \int e^{- u} u d u)))

Apply Integration By Parts

: - e^{- u} u - \int - e^{- u} d u

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - (- 2 (- e^{- u} u - \int - e^{- u} d u))))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - (- 2 (- e^{- u} u - (- \int e^{- u} d u)))))

Apply u-substitution

: \int - e^{v} d v

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - (- 2 (- e^{- u} u - (- \int - e^{v} d v)))))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - (- 2 (- e^{- u} u - (- (- \int e^{v} d v))))))

Use the common integral:

\int e^{v} d v = e^{v}

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- u} u^{2} - (- 2 (- e^{- u} u - (- (- e^{v}))))))

Substitute back

= y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- \frac{2 y}{x}} (\frac{2 y}{x})^{2} - (- 2 (- e^{- \frac{2 y}{x}} \frac{2 y}{x} - (- (- e^{- \frac{2 y}{x}}))))))

Simplify

y^{3} (- \frac{1}{8 y ^{3}} (- e^{- \frac{2 y}{x}} (\frac{2 y}{x})^{2} - (- 2 (- e^{- \frac{2 y}{x}} \frac{2 y}{x} - (- (- e^{- \frac{2 y}{x}})))))) : \frac{y ^{2} e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x ^{2}} + \frac{y e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x} + \frac{1}{4} e^{- \frac{2 y}{x}}

= \frac{y ^{2} e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x ^{2}} + \frac{y e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x} + \frac{1}{4} e^{- \frac{2 y}{x}}

Add a constant to the solution

= \frac{y ^{2} e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x ^{2}} + \frac{y e ^{- \frac{2 y}{x}}}{2 x} + \frac{1}{4} e^{- \frac{2 y}{x}} + C

\frac{3}{5} cos (2 x - \frac{π}{4}) + π

y = 4 π r^{2}

\frac{d}{d x} (x^{7} ln (x))

x^{2} e^{- x}, x e^{- x}

\frac{2 s}{s ^{2} + 9}