Популярный >

интеграл от 1/(x(x^7+1)^2)

Решение

\int \frac{1}{x ( x ^{7} + 1 ) ^{2}} d x

\frac{1}{7} (ln x^{7} - ln x^{7} + 1 + \frac{1}{x ^{7} + 1}) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{x ( x ^{7} + 1 ) ^{2}} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{7 u ( u + 1 ) ^{2}} d u

= \int \frac{1}{7 u ( u + 1 ) ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1}{u ( u + 1 ) ^{2}} d u

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{( v - 1 ) v ^{2}} d v

= \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1}{( v - 1 ) v ^{2}} d v

Извлечь элементарную дробь из

\frac{1}{( v - 1 ) v ^{2}} : \frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v} - \frac{1}{v ^{2}}

= \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v} - \frac{1}{v ^{2}} d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{7} (\int \frac{1}{v - 1} d v - \int \frac{1}{v} d v - \int \frac{1}{v ^{2}} d v)

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v}

= \frac{1}{7} (ln ∣ v - 1 ∣ - ln ∣ v ∣ - (- \frac{1}{v}))

Делаем обратную замену

= \frac{1}{7} (ln x^{7} + 1 - 1 - ln x^{7} + 1 - (- \frac{1}{x ^{7} + 1}))

После упрощения получаем

= \frac{1}{7} (ln x^{7} - ln x^{7} + 1 + \frac{1}{x ^{7} + 1})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{7} (ln x^{7} - ln x^{7} + 1 + \frac{1}{x ^{7} + 1}) + C