What is the integral of e^{2x}(2xy+2x^2y+2/3 y^3) ?

The integral of e^{2x}(2xy+2x^2y+2/3 y^3) is ye^{2x}x^2+(y^3e^{2x})/3+C

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integral of e^{2x}(2xy+2x^2y+2/3 y^3)

\int e^{2 x} (2 x y + 2 x^{2} y + \frac{2}{3} y^{3}) d x

y e^{2 x} x^{2} + \frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3} + C

Solution steps

\int e^{2 x} (2 x y + 2 x^{2} y + \frac{2}{3} y^{3}) d x

Expand

(\frac{2}{3} y^{3} + 2 y x + 2 y x^{2}) e^{2 x} : \frac{2 y ^{3} e ^{2 x}}{3} + 2 y e^{2 x} x + 2 y e^{2 x} x^{2}

= \int \frac{2 y ^{3} e ^{2 x}}{3} + 2 y e^{2 x} x + 2 y e^{2 x} x^{2} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2 y ^{3} e ^{2 x}}{3} d x + \int 2 y e^{2 x} x d x + \int 2 y e^{2 x} x^{2} d x

\int \frac{2 y ^{3} e ^{2 x}}{3} d x = \frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3}

\int 2 y e^{2 x} x d x = y e^{2 x} x - \frac{1}{2} y e^{2 x}

\int 2 y e^{2 x} x^{2} d x = y e^{2 x} x^{2} - y e^{2 x} x + \frac{1}{2} y e^{2 x}

= \frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3} + y e^{2 x} x - \frac{1}{2} y e^{2 x} + y e^{2 x} x^{2} - y e^{2 x} x + \frac{1}{2} y e^{2 x}

Simplify

\frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3} + y e^{2 x} x - \frac{1}{2} y e^{2 x} + y e^{2 x} x^{2} - y e^{2 x} x + \frac{1}{2} y e^{2 x} : y e^{2 x} x^{2} + \frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3}

= y e^{2 x} x^{2} + \frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3}

Add a constant to the solution

= y e^{2 x} x^{2} + \frac{y ^{3} e ^{2 x}}{3} + C

x \to \infty lim (10 + 15 e^{- 2 x})

(2 x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0, y (1) = 4

x \to \infty lim (\frac{1}{5 ^{\frac{1}{x}}})

\frac{1}{2} sin^{2} (x)

y = x^{2} - 5 x + 5

What is the integral of e^{2x}(2xy+2x^2y+2/3 y^3) ?
The integral of e^{2x}(2xy+2x^2y+2/3 y^3) is ye^{2x}x^2+(y^3e^{2x})/3+C