integral of 1/((x^2+y^2+z^2)^{3/2)}

解

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

三角関数による置換を適用する

: \int \frac{1}{sec ( u ) ( y ^{2} + z ^{2} )} d u

= \int \frac{1}{sec ( u ) ( y ^{2} + z ^{2} )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

共通積分を使用する:

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} sin (u)

代用を戻す

u = arctan (\frac{1}{( y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} x)

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{( y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} x))

簡素化

\frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{( y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} x)) : \frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

定数を解答に追加する

= \frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C