интеграл от (r^3)/(1+r^2)

Решение

\int \frac{r ^{3}}{1 + r ^{2}} d r

\frac{1}{2} (1 + r^{2} - ln 1 + r^{2}) + C

Шаги решения

\int \frac{r ^{3}}{1 + r ^{2}} d r

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{u - 1}{2 u} d u

= \int \frac{u - 1}{2 u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{u} d u

Расширить

\frac{u - 1}{u} : 1 - \frac{1}{u}

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 - \frac{1}{u} d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int \frac{1}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= \frac{1}{2} (u - ln ∣ u ∣)

Делаем обратную замену

u = 1 + r^{2}

= \frac{1}{2} (1 + r^{2} - ln 1 + r^{2})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} (1 + r^{2} - ln 1 + r^{2}) + C