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integral of (x^2-2x+1)/(sqrt(x^2-2x+10))

Soluzione

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 10} d x

9 (- ln (\frac{1}{3} x - 1 + x^{2} - 2 x + 10) + \frac{1}{18} (x - 1) x^{2} - 2 x + 10 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 10}{3})) + C

Fasi della soluzione

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 10} d x

Completa il quadrato

x^{2} - 2 x + 1 : (x - 1)^{2}

= \int \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 2 x + 10} d x

Applicare la sostituzione u

: \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 9} d u

= \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 9} d u

Applicazione della sostituzione trigonometrica

: \int 9 tan^{2} (v) sec (v) d v

= \int 9 tan^{2} (v) sec (v) d v

Porta fuori la costante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= 9 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Espandi

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 9 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 9 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Sostituisci indietro

= 9 (- ln tan (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) tan (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))))

Semplificare

9 (- ln tan (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) tan (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{3} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{3} (x - 1)))) : 9 (- ln (\frac{1}{3} x - 1 + x^{2} - 2 x + 10) + \frac{1}{18} (x - 1) x^{2} - 2 x + 10 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 10}{3}))

= 9 (- ln (\frac{1}{3} x - 1 + x^{2} - 2 x + 10) + \frac{1}{18} (x - 1) x^{2} - 2 x + 10 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 10}{3}))

Aggiungi una costante alla soluzione

= 9 (- ln (\frac{1}{3} x - 1 + x^{2} - 2 x + 10) + \frac{1}{18} (x - 1) x^{2} - 2 x + 10 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 10}{3})) + C

\int (2 x^{2} + 5) (x^{2} - 3 x) d x

\int \frac{1}{y ^{3}} d y

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (\frac{x ^{2} + 2 x - 6}{( x + 1 ) ^{2}})

\int_{0}^{\frac{π}{24}} tan (8 x) d x

e^{1 + x^{2}} + 3 x^{4}