integral of 1/(xsqrt((x^2+1)))

해법

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} d x

- \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - 1 + C

솔루션 단계

\int \frac{1}{x x ^{2} + 1} d x

대체 적용

: \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

u^{2} - 1

인수 :

- (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

정수를 빼라:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

공통 적분 사용:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

뒤로 대체

u = x^{2} + 1

= - (\frac{ln x ^{2} + 1 + 1}{2} - \frac{ln x ^{2} + 1 - 1}{2})

- (\frac{ln x ^{2} + 1 + 1}{2} - \frac{ln x ^{2} + 1 - 1}{2})

간소화하다 :

- \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - 1

= - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - 1

솔루션에 상수 추가

= - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - 1 + C