интеграл от 1/x ln^2(x)

Решение

\int \frac{1}{x} ln^{2} (x) d x

\frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x} + \frac{1}{3} ln^{3} (x) - ln^{2} (x) + 2 ln ∣ x ∣ + C

Шаги решения

\int \frac{1}{x} ln^{2} (x) d x

Применить интегрирование по частям

: \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x} - \int - \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x ^{2}} d x

= \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x} - \int - \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x ^{2}} d x

\int - \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x ^{2}} d x = - \frac{1}{3} ln^{3} (x) + ln^{2} (x) - 2 ln ∣ x ∣

= \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x} - (- \frac{1}{3} ln^{3} (x) + ln^{2} (x) - 2 ln ∣ x ∣)

После упрощения получаем

= \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x} + \frac{1}{3} ln^{3} (x) - ln^{2} (x) + 2 ln ∣ x ∣

Добавить константу к решению

= \frac{x ln ^{2} ( x ) - 2 ( x ln ( x ) - x )}{x} + \frac{1}{3} ln^{3} (x) - ln^{2} (x) + 2 ln ∣ x ∣ + C