интеграл от sqrt(1+4x^4)(16x^3)

Решение

\int 1 + 4 x^{4} (16 x^{3}) d x

\frac{2}{3} (4 x^{4} + 1)^{\frac{3}{2}} + C

Шаги решения

\int 1 + 4 x^{4} \cdot 16 x^{3} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int 1 + 4 x^{4} x^{3} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1 + 4 u}{4} d u

= 16 \cdot \int \frac{1 + 4 u}{4} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int 1 + 4 u d u

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{v}{4} d v

= 16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{v}{4} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \int v d v

Применить правило показателя степени

: \frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}}

= 16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}}

Делаем обратную замену

= 16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (1 + 4 x^{4})^{\frac{3}{2}}

Упростите

16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (1 + 4 x^{4})^{\frac{3}{2}} : \frac{2}{3} (4 x^{4} + 1)^{\frac{3}{2}}

= \frac{2}{3} (4 x^{4} + 1)^{\frac{3}{2}}

Добавить константу к решению

= \frac{2}{3} (4 x^{4} + 1)^{\frac{3}{2}} + C