What is the integral of (sqrt(x)+1)/(\sqrt[4]{x)+2} ?

The integral of (sqrt(x)+1)/(\sqrt[4]{x)+2} is

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

integral of (sqrt(x)+1)/(\sqrt[4]{x)+2}

\int \frac{x + 1}{4 x + 2} d x

4 (\frac{1}{5} (4 x + 2)^{5} - \frac{3}{2} (4 x + 2)^{4} + 4 (4 x + 2)^{3} - 4 (4 x + 2)^{2} - x + 5 (- 3 x + \frac{1}{3} (4 x + 2)^{3} - 8 ln 4 x + 2 + 12)) + C

Solution steps

\int \frac{x + 1}{4 x + 2} d x

Apply u-substitution

: \int \frac{4 ( u - 2 ) ^{3} ( u ^{2} - 4 u + 5 )}{u} d u

= \int \frac{4 ( u - 2 ) ^{3} ( u ^{2} - 4 u + 5 )}{u} d u

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{( u - 2 ) ^{3} ( u ^{2} - 4 u + 5 )}{u} d u

Expand

\frac{( u - 2 ) ^{3} ( u ^{2} - 4 u + 5 )}{u} : u (u - 2)^{3} - 4 (u - 2)^{3} + \frac{5 ( u - 2 ) ^{3}}{u}

= 4 \cdot \int u (u - 2)^{3} - 4 (u - 2)^{3} + \frac{5 ( u - 2 ) ^{3}}{u} d u

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int u (u - 2)^{3} d u - \int 4 (u - 2)^{3} d u + \int \frac{5 ( u - 2 ) ^{3}}{u} d u)

\int u (u - 2)^{3} d u = \frac{u ^{5}}{5} - \frac{3 u ^{4}}{2} + 4 u^{3} - 4 u^{2}

\int 4 (u - 2)^{3} d u = (u - 2)^{4}

\int \frac{5 ( u - 2 ) ^{3}}{u} d u = 5 (\frac{u ^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 ln ∣ u ∣)

= 4 (\frac{u ^{5}}{5} - \frac{3 u ^{4}}{2} + 4 u^{3} - 4 u^{2} - (u - 2)^{4} + 5 (\frac{u ^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 ln ∣ u ∣))

Substitute back

u = 4 x + 2

= 4 (\frac{( 4 x + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{3 ( 4 x + 2 ) ^{4}}{2} + 4 (4 x + 2)^{3} - 4 (4 x + 2)^{2} - (4 x + 2 - 2)^{4} + 5 (\frac{( 4 x + 2 ) ^{3}}{3} - 3 (4 x + 2)^{2} + 12 (4 x + 2) - 8 ln 4 x + 2))

Simplify

4 (\frac{( 4 x + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{3 ( 4 x + 2 ) ^{4}}{2} + 4 (4 x + 2)^{3} - 4 (4 x + 2)^{2} - (4 x + 2 - 2)^{4} + 5 (\frac{( 4 x + 2 ) ^{3}}{3} - 3 (4 x + 2)^{2} + 12 (4 x + 2) - 8 ln 4 x + 2)) : 4 (\frac{1}{5} (4 x + 2)^{5} - \frac{3}{2} (4 x + 2)^{4} + 4 (4 x + 2)^{3} - 4 (4 x + 2)^{2} - x + 5 (- 3 x + \frac{1}{3} (4 x + 2)^{3} - 8 ln 4 x + 2 + 12))

= 4 (\frac{1}{5} (4 x + 2)^{5} - \frac{3}{2} (4 x + 2)^{4} + 4 (4 x + 2)^{3} - 4 (4 x + 2)^{2} - x + 5 (- 3 x + \frac{1}{3} (4 x + 2)^{3} - 8 ln 4 x + 2 + 12))

Add a constant to the solution

= 4 (\frac{1}{5} (4 x + 2)^{5} - \frac{3}{2} (4 x + 2)^{4} + 4 (4 x + 2)^{3} - 4 (4 x + 2)^{2} - x + 5 (- 3 x + \frac{1}{3} (4 x + 2)^{3} - 8 ln 4 x + 2 + 12)) + C

\int \frac{sec ( x )}{( tan ( x ) ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 5 x} d x

\int \frac{9}{x ln ( 8 x )} d x

x e^{- x^{2}}

\int \frac{x + arccos ( x )}{1 - x ^{2}} d x

What is the integral of (sqrt(x)+1)/(\sqrt[4]{x)+2} ?
The integral of (sqrt(x)+1)/(\sqrt[4]{x)+2} is