What is the integral of (y^2)/((y+1)^3) ?

The integral of (y^2)/((y+1)^3) is

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integral of (y^2)/((y+1)^3)

\int \frac{y ^{2}}{( y + 1 ) ^{3}} d y

\frac{y ^{3}}{( y + 1 ) ^{3}} + ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{3}{y + 1} - \frac{3}{2 ( y + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{3 ( y + 1 ) ^{3}} + \frac{2 y ^{2}}{3 ( y + 1 ) ^{3}} - \frac{2 ( - 2 y - 1 )}{3 ( y + 1 ) ^{2}} + C

Solution steps

\int \frac{y ^{2}}{( y + 1 ) ^{3}} d y

Apply Integration By Parts

: \frac{y ^{3}}{( y + 1 ) ^{3}} - \int \frac{y ^{2} ( - y + 2 )}{( y + 1 ) ^{4}} d y

= \frac{y ^{3}}{( y + 1 ) ^{3}} - \int \frac{y ^{2} ( - y + 2 )}{( y + 1 ) ^{4}} d y

\int \frac{y ^{2} ( - y + 2 )}{( y + 1 ) ^{4}} d y = - ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{3}{y + 1} + \frac{3}{2 ( y + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{3 ( y + 1 ) ^{3}} - \frac{2 y ^{2}}{3 ( y + 1 ) ^{3}} + \frac{2 ( - 2 y - 1 )}{3 ( y + 1 ) ^{2}}

= \frac{y ^{3}}{( y + 1 ) ^{3}} - (- ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{3}{y + 1} + \frac{3}{2 ( y + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{3 ( y + 1 ) ^{3}} - \frac{2 y ^{2}}{3 ( y + 1 ) ^{3}} + \frac{2 ( - 2 y - 1 )}{3 ( y + 1 ) ^{2}})

Simplify

= \frac{y ^{3}}{( y + 1 ) ^{3}} + ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{3}{y + 1} - \frac{3}{2 ( y + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{3 ( y + 1 ) ^{3}} + \frac{2 y ^{2}}{3 ( y + 1 ) ^{3}} - \frac{2 ( - 2 y - 1 )}{3 ( y + 1 ) ^{2}}

Add a constant to the solution

= \frac{y ^{3}}{( y + 1 ) ^{3}} + ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{3}{y + 1} - \frac{3}{2 ( y + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{3 ( y + 1 ) ^{3}} + \frac{2 y ^{2}}{3 ( y + 1 ) ^{3}} - \frac{2 ( - 2 y - 1 )}{3 ( y + 1 ) ^{2}} + C

\int (5 x^{2} + 1) (5 x^{3} + 3 x - 2) d x

\int 4 - (x - 3)^{2} d x

\int - \frac{x}{e ^{2 x}} d x

\int (t^{2} - sin (t)) d t

\int \frac{x - 12}{x ^{2} - 4 x} d x