What is the integral of e^{-ax}cos(wx) ?

The integral of e^{-ax}cos(wx) is (we^{-ax}sin(wx))/(w^2+a^2)-(ae^{-ax}cos(wx))/(w^2+a^2)+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

integral of e^{-ax}cos(wx)

\int e^{- a x} cos (w x) d x

\frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} + C

Solution steps

\int e^{- a x} cos (w x) d x

Apply Integration By Parts

: e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - \int - a e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - \int - a e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) d x

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- a \frac{1}{w} \cdot \int e^{- a x} sin (w x) d x)

Simplify

- a \frac{1}{w} : - \frac{a}{w}

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} sin (w x) d x)

Apply Integration By Parts

: - e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \int a e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \int a e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) d x))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - a \frac{1}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

Simplify

a \frac{1}{w} : \frac{a}{w}

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

Therefore

\int e^{- a x} cos (w x) d x = e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

Isolate

\int e^{- a x} cos (w x) d x

= \frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}}

Add a constant to the solution

= \frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} + C

\int \frac{1}{2 + cos ( 2 x )} d x

\int \frac{1}{x ln ( a )} d x

\int \frac{2 x - 1}{x - x ^{2}} d x

\int \frac{2 x}{x + 3} d x

\int 1 + cos^{2} (x) sin (2 x) cos (2 x) d x

What is the integral of e^{-ax}cos(wx) ?
The integral of e^{-ax}cos(wx) is (we^{-ax}sin(wx))/(w^2+a^2)-(ae^{-ax}cos(wx))/(w^2+a^2)+C