интеграл от (sqrt(x^2+6x+5))/(x+3)

Решение

\int \frac{x ^{2} + 6 x + 5}{x + 3} d x

- 2 arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)) + x^{2} + 6 x + 5 + C

Шаги решения

\int \frac{x ^{2} + 6 x + 5}{x + 3} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{u ^{2} - 4}{u} d u

= \int \frac{u ^{2} - 4}{u} d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int 2 tan^{2} (v) d v

= \int 2 tan^{2} (v) d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int tan^{2} (v) d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int - 1 + sec^{2} (v) d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int 1 d v + \int sec^{2} (v) d v)

\int 1 d v = v

\int sec^{2} (v) d v = tan (v)

= 2 (- v + tan (v))

Делаем обратную замену

= 2 (- arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)) + tan (arcsec (\frac{1}{2} (x + 3))))

Упростите

2 (- arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)) + tan (arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)))) : - 2 arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)) + x^{2} + 6 x + 5

= - 2 arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)) + x^{2} + 6 x + 5

Добавить константу к решению

= - 2 arcsec (\frac{1}{2} (x + 3)) + x^{2} + 6 x + 5 + C