integral de 1/((25x^2+1)^2)

Solução

\int \frac{1}{( 25 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

\frac{1}{10} (arctan (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (5 x))) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{( 25 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{5 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

: \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Substituir na equação

= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (arctan (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (5 x)))

Simplificar

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (arctan (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (5 x))) : \frac{1}{10} (arctan (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (5 x)))

= \frac{1}{10} (arctan (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (5 x)))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{10} (arctan (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (5 x))) + C

\int \frac{sin ( 2 x )}{2 + sin ( x )} d x

\int e^{0.1 t} d t

\int [arcsin (x)]^{2} d x

\int (3 x^{2} + y) d x

\int \frac{- 1}{cos ^{2} ( x )} d x