integral of sqrt(4-(x)^2)

해법

\int 4 - (x)^{2} d x

2 arcsin (\frac{1}{2} x) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C

솔루션 단계

\int 4 - x^{2} d x

삼각형 대체 적용

: \int 4 cos^{2} (u) d u

= \int 4 cos^{2} (u) d u

정수를 빼라:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int cos^{2} (u) d u

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

= 4 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

정수를 빼라:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

합계 규칙 적용:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

뒤로 대체

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

= 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

간소화하다 :

2 arcsin (\frac{1}{2} x) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

= 2 arcsin (\frac{1}{2} x) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

솔루션에 상수 추가

= 2 arcsin (\frac{1}{2} x) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C