What is the integral of xe^{-x}(2+x) ?

The integral of xe^{-x}(2+x) is 4(-e^{-x}x-e^{-x})-e^{-x}x^2+C

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integral of xe^{-x}(2+x)

\int x e^{- x} (2 + x) d x

4 (- e^{- x} x - e^{- x}) - e^{- x} x^{2} + C

Solution steps

\int x e^{- x} (2 + x) d x

Expand

x e^{- x} (2 + x) : 2 e^{- x} x + e^{- x} x^{2}

= \int 2 e^{- x} x + e^{- x} x^{2} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 2 e^{- x} x d x + \int e^{- x} x^{2} d x

\int 2 e^{- x} x d x = 2 (- e^{- x} x - e^{- x})

\int e^{- x} x^{2} d x = - e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x})

= 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) - e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x})

Simplify

= 4 (- e^{- x} x - e^{- x}) - e^{- x} x^{2}

Add a constant to the solution

= 4 (- e^{- x} x - e^{- x}) - e^{- x} x^{2} + C

\int cos (a + x) d x

\int t e^{7 t^{2}} d t

\int e - 1 d x

\int 0. 9^{x} d x

\int 5 cos (x) - sin (x) d x

What is the integral of xe^{-x}(2+x) ?
The integral of xe^{-x}(2+x) is 4(-e^{-x}x-e^{-x})-e^{-x}x^2+C