интеграл с 0 до x^2 от sin^2(t)

Решение

\int_{0}^{x^{2}} sin^{2} (t) d t

\frac{1}{2} (x^{2} - \frac{1}{2} sin (2 x^{2}))

Шаги решения

\int_{0}^{x^{2}} sin^{2} (t) d t

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - cos ( 2 t )}{2} d t

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{x^{2}} 1 - cos (2 t) d t

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{0}^{x^{2}} 1 d t - \int_{0}^{x^{2}} cos (2 t) d t)

\int_{0}^{x^{2}} 1 d t = x^{2}

\int_{0}^{x^{2}} cos (2 t) d t = \frac{1}{2} sin (2 x^{2})

= \frac{1}{2} (x^{2} - \frac{1}{2} sin (2 x^{2}))