What is the integral of (e^{-x}-x)^2 ?

The integral of (e^{-x}-x)^2 is -1/2 e^{-2x}-2(-e^{-x}x-e^{-x})+(x^3)/3+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

integral of (e^{-x}-x)^2

\int (e^{- x} - x)^{2} d x

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3} + C

Solution steps

\int (e^{- x} - x)^{2} d x

- x = (- 1) x

= \int (e^{- x} + (- 1) x)^{2} d x

Factor

e^{- x} + (- 1) x : - (- e^{- x} - (- 1) x)

= \int (- (- e^{- x} - (- 1) x))^{2} d x

Simplify

(- (- e^{- x} - (- 1) x))^{2} : (- e^{- x} + x)^{2}

= \int (- e^{- x} + x)^{2} d x

Apply u-substitution

: \int - e^{2 u} - 2 e^{u} u - u^{2} d u

= \int - e^{2 u} - 2 e^{u} u - u^{2} d u

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int e^{2 u} d u - \int 2 e^{u} u d u - \int u^{2} d u

\int e^{2 u} d u = \frac{1}{2} e^{2 u}

\int 2 e^{u} u d u = 2 (e^{u} u - e^{u})

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

= - \frac{1}{2} e^{2 u} - 2 (e^{u} u - e^{u}) - \frac{u ^{3}}{3}

Substitute back

u = - x

= - \frac{1}{2} e^{2 (- x)} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}) - \frac{( - x ) ^{3}}{3}

Simplify

- \frac{1}{2} e^{2 (- x)} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}) - \frac{( - x ) ^{3}}{3} : - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3}

Add a constant to the solution

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3} + C

\int \frac{1 - cos ( 2 y )}{1 + cos ( 2 y )} d y

\int x arctan (7 x) d x

\int (2 x^{2} + 3)^{2} \cdot 5 x d x

\int \frac{1}{x 4 x ^{2} - 5} d x

\int 4 1 - 25 x^{2} d x

What is the integral of (e^{-x}-x)^2 ?
The integral of (e^{-x}-x)^2 is -1/2 e^{-2x}-2(-e^{-x}x-e^{-x})+(x^3)/3+C