intégrale de (csc(x))/(1+sec(x))

Solution

\int \frac{csc ( x )}{1 + sec ( x )} d x

- \frac{1}{2} (\frac{tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2} - ln tan (\frac{x}{2})) + C

étapes des solutions

\int \frac{csc ( x )}{1 + sec ( x )} d x

Simplifier

\frac{csc ( x )}{1 + sec ( x )} : \frac{1}{sin ( x ) + tan ( x )}

= \int \frac{1}{sin ( x ) + tan ( x )} d x

Appliquer l'intégration par subsitution

: \int - \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{2 u} d u

= \int - \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{2 u} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} d u

Développer

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} : u - \frac{1}{u}

= - \frac{1}{2} \cdot \int u - \frac{1}{u} d u

Appliquer la règle de la somme:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{2} (\int u d u - \int \frac{1}{u} d u)

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= - \frac{1}{2} (\frac{u ^{2}}{2} - ln ∣ u ∣)

Remplacer

u = tan (\frac{x}{2})

= - \frac{1}{2} (\frac{tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2} - ln tan (\frac{x}{2}))

Ajouter une constante à la solution

= - \frac{1}{2} (\frac{tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2} - ln tan (\frac{x}{2})) + C

\int \frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x + 2} d x

\int x arctan (7 x) d x

\int tan^{6} (2 x) sec^{4} (2 x) d x

\int arccos (6 x) d x

\int \frac{1}{( x - 5 ) ( x - 4 )} d x