интеграл от x/((x-1)(x-3)^2)

Решение

\int \frac{x}{( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2}} d x

\frac{1}{4} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ x - 3 ∣ - \frac{3}{2 ( x - 3 )} + C

Шаги решения

\int \frac{x}{( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2}} d x

Извлечь элементарную дробь из

\frac{x}{( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2}} : \frac{1}{4 ( x - 1 )} - \frac{1}{4 ( x - 3 )} + \frac{3}{2 ( x - 3 ) ^{2}}

= \int \frac{1}{4 ( x - 1 )} - \frac{1}{4 ( x - 3 )} + \frac{3}{2 ( x - 3 ) ^{2}} d x

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x - \int \frac{1}{4 ( x - 3 )} d x + \int \frac{3}{2 ( x - 3 ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x = \frac{1}{4} ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{1}{4 ( x - 3 )} d x = \frac{1}{4} ln ∣ x - 3 ∣

\int \frac{3}{2 ( x - 3 ) ^{2}} d x = - \frac{3}{2 ( x - 3 )}

= \frac{1}{4} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ x - 3 ∣ - \frac{3}{2 ( x - 3 )}

Добавить константу к решению

= \frac{1}{4} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ x - 3 ∣ - \frac{3}{2 ( x - 3 )} + C