What is the integral of e^{-x}sin(x)cos(x) ?

The integral of e^{-x}sin(x)cos(x) is 1/10 (-2e^{-x}cos(2x)-e^{-x}sin(2x))+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

integral of e^{-x}sin(x)cos(x)

\int e^{- x} sin (x) cos (x) d x

\frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x)) + C

Solution steps

\int e^{- x} sin (x) cos (x) d x

Rewrite using trig identities

= \int \frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) d x

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x

Apply Integration By Parts

: - \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \int \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \int \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) d x)

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} cos (2 x) d x)

Apply Integration By Parts

: \frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) d x))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x)))

Therefore

\frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x)))

Isolate

\int e^{- x} sin (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5})

Simplify

\frac{1}{2} (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5}) : \frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x))

= \frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x))

Add a constant to the solution

= \frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x)) + C

\int 5 sec^{2} (5 x) d x

\int 3 (3 x + 4)^{2} d x

\int \frac{x ^{2} + 64}{x ^{2}} d x

\int + sin (5 x) cos (7 x) d x

\int \frac{1}{2} 9 - x^{2} d x

What is the integral of e^{-x}sin(x)cos(x) ?
The integral of e^{-x}sin(x)cos(x) is 1/10 (-2e^{-x}cos(2x)-e^{-x}sin(2x))+C