интеграл от e^{-x}(cos(x)-sin(x))

Решение

\int e^{- x} (cos (x) - sin (x)) d x

e^{- x} sin (x) + C

Шаги решения

\int e^{- x} (cos (x) - sin (x)) d x

Расширить

e^{- x} (cos (x) - sin (x)) : e^{- x} cos (x) - e^{- x} sin (x)

= \int e^{- x} cos (x) - e^{- x} sin (x) d x

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- x} cos (x) d x - \int e^{- x} sin (x) d x

\int e^{- x} cos (x) d x = \frac{e ^{- x} sin ( x )}{2} - \frac{e ^{- x} cos ( x )}{2}

\int e^{- x} sin (x) d x = - \frac{e ^{- x} cos ( x )}{2} - \frac{e ^{- x} sin ( x )}{2}

= \frac{e ^{- x} sin ( x )}{2} - \frac{e ^{- x} cos ( x )}{2} - (- \frac{e ^{- x} cos ( x )}{2} - \frac{e ^{- x} sin ( x )}{2})

Упростите

\frac{e ^{- x} sin ( x )}{2} - \frac{e ^{- x} cos ( x )}{2} - (- \frac{e ^{- x} cos ( x )}{2} - \frac{e ^{- x} sin ( x )}{2}) : e^{- x} sin (x)

= e^{- x} sin (x)

Добавить константу к решению

= e^{- x} sin (x) + C