What is the integral of e^{-t}sin(-2t) ?

The integral of e^{-t}sin(-2t) is 1/10 (-e^{-t}cos(2t)+2e^{-t}sin(2t))+1/2 e^{-t}cos(2t)+C

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integral of e^{-t}sin(-2t)

\int e^{- t} sin (- 2 t) d t

\frac{1}{10} (- e^{- t} cos (2 t) + 2 e^{- t} sin (2 t)) + \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) + C

Solution steps

\int e^{- t} sin (- 2 t) d t

Apply Integration By Parts

: \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - \int - \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) d t

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - \int - \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) d t

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- t} cos (2 t) d t)

Apply Integration By Parts

: \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) - \int - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) d t

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - (- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) - \int - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) d t))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - (- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- t} sin (2 t) d t)))

Apply Integration By Parts

: - \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - \int \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) d t

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - (- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) - (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - \int \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) d t))))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - (- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) - (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} \cdot \int e^{- t} cos (2 t) d t))))

Therefore

- (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- t} cos (2 t) d t) + cos (2 t) \frac{1}{2} e^{- t} = \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - (- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t) - (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} \cdot \int e^{- t} cos (2 t) d t))))

Isolate

\int e^{- t} cos (2 t) d t

= - (- \frac{1}{2} (- \frac{e ^{- t} cos ( 2 t )}{5} + \frac{2 e ^{- t} sin ( 2 t )}{5})) + cos (2 t) \frac{1}{2} e^{- t}

Simplify

- (- \frac{1}{2} (- \frac{e ^{- t} cos ( 2 t )}{5} + \frac{2 e ^{- t} sin ( 2 t )}{5})) + cos (2 t) \frac{1}{2} e^{- t} : \frac{1}{10} (- e^{- t} cos (2 t) + 2 e^{- t} sin (2 t)) + \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t)

= \frac{1}{10} (- e^{- t} cos (2 t) + 2 e^{- t} sin (2 t)) + \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t)

Add a constant to the solution

= \frac{1}{10} (- e^{- t} cos (2 t) + 2 e^{- t} sin (2 t)) + \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t) + C

\int x^{2} - 6 d x

\int (t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}}) d t

\int \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ( x ^{2} + 1 )} d x

\int \frac{x ^{2} + 7 x - 6}{( x + 1 ) ( x ^{2} - 4 x + 4 )} d x

What is the integral of e^{-t}sin(-2t) ?
The integral of e^{-t}sin(-2t) is 1/10 (-e^{-t}cos(2t)+2e^{-t}sin(2t))+1/2 e^{-t}cos(2t)+C