integral of e^{-st}tcos(t)

解答

\int e^{- s t} \cdot t \cdot cos (t) d t

- e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t) + C

求解步骤

\int e^{- s t} t cos (t) d t

使用分布积分法

: \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t

= \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t

\int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t = - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

= \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - (- e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t))

化简

\frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - (- e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)) : - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

解答补常数

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t) + C

\int \frac{3 x ^{2} - 8 x}{x ^{3} - 4 x ^{2} + 1} d x

\int x e^{\frac{- x ^{2}}{a}} d x

\int y \cdot ln (y) d y

\int 5 (5 - 4 cos (t))^{\frac{1}{4}} sin (t) d t

\int (x - 1) - (x - 1)^{2} d x