Популярный >

интеграл от 1/(au^2+bu+c)

Решение

\int \frac{1}{a u ^{2} + b u + c} d u

\frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}}) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{a u ^{2} + b u + c} d u

Заполните квадрат

a u^{2} + b u + c : (a u + \frac{b}{2 a})^{2} + c - \frac{b ^{2}}{4 a}

= \int \frac{1}{( a u + \frac{b}{2 a} ) ^{2} + c - \frac{b ^{2}}{4 a}} d u

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{4 a}{4 a v ^{2} + 4 a c - b ^{2}} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 a \cdot \int \frac{1}{4 a v ^{2} + 4 a c - b ^{2}} d v

Применить подстановку интеграла

= 4 a \cdot \int \frac{1}{2 a ( w ^{2} + 1 ) - b ^{2} + 4 a c} d w

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (w)

Делаем обратную замену

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a}{4 a c - b ^{2}} (a u + \frac{b}{2 a}))

Упростите

4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a}{4 a c - b ^{2}} (a u + \frac{b}{2 a})) : \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}})

= \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}})

Добавить константу к решению

= \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}}) + C