интеграл от (sqrt(x+1))/(x^{5/2)}

Решение

\int \frac{x + 1}{x ^{\frac{5}{2}}} d x

- \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}} + C

Шаги решения

\int \frac{x + 1}{x ^{\frac{5}{2}}} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{2 u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

= \int \frac{2 u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int cot^{4} (v) sec^{3} (v) d v

= 2 \cdot \int cot^{4} (v) sec^{3} (v) d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int \frac{cos ( v )}{sin ^{4} ( v )} d v

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{w ^{4}} d w

= 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{4}} d w

Применить правило показателя степени

: - \frac{1}{3 w ^{3}}

= 2 (- \frac{1}{3 w ^{3}})

Делаем обратную замену

= 2 (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( x + 1 ) )})

Упростите

2 (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( x + 1 ) )}) : - \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}}

= - \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}}

Добавить константу к решению

= - \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}} + C