интеграл с 0 до 1 от 8/(x^2-4)

Решение

\int_{0}^{1} \frac{8}{x ^{2} - 4} d x

- 2 ln (3)

Обозначение десятичными цифрами

- 2.19722 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{1} \frac{8}{x ^{2} - 4} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{2} - 4} d x

Применить подстановку интеграла

= 8 \cdot \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 ( u ^{2} - 1 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Найдите множитель

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} (- \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 8 \cdot \frac{1}{2} (- [\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{0}^{\frac{1}{2}})

Упростите

8 \cdot \frac{1}{2} (- [\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{0}^{\frac{1}{2}}) : - 4 [\frac{1}{2} (ln ∣ u + 1 ∣ - ln ∣ u - 1 ∣)]_{0}^{\frac{1}{2}}

= - 4 [\frac{1}{2} (ln ∣ u + 1 ∣ - ln ∣ u - 1 ∣)]_{0}^{\frac{1}{2}}

Вычислить границы:

\frac{ln ( 2 ) + ln ( \frac{3}{2} )}{2}

= - 4 \cdot \frac{ln ( 2 ) + ln ( \frac{3}{2} )}{2}

После упрощения получаем

= - 2 ln (3)