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integral de 0 a 1/2 de sqrt(x/(1-x))

Solução

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{1 - x} d x

Solução

\frac{π}{4} - \frac{1}{2}

+1

Notação decimal

0.28539 \dots

Passos da solução

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{1 - x} d x

Simplificar

\frac{x}{1 - x} : \frac{x}{1 - x}

= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{1 - x} d x

Aplicar integração por substituição

: \int_{1}^{\frac{1}{2}} - 2 - u^{2} + 1 d u

= \int_{1}^{\frac{1}{2}} - 2 - u^{2} + 1 d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 2 - u^{2} + 1 d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 2 \cdot \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{2} + 1 d u)

Aplicar integração por substituição trigonométrica

: \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} (v) d v

= - (- 2 \cdot \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} (v) d v)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= - (- 2 \cdot \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v)

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 1 + cos (2 v) d v)

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- 2 \cdot \frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 1 d v + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v))

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 1 d v = \frac{π}{4}

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v = - \frac{1}{2}

= - (- 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}))

Simplificar

- (- 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})) : \frac{π}{4} - \frac{1}{2}

= \frac{π}{4} - \frac{1}{2}

Exemplos populares

integral de 1 a 4 de (2-x)-sqrt(x)

\int_{1}^{4} (2 - x) - x d x

integral de 1 a 2.2 de x^3*e^{x+1}

\int_{1}^{2.2} x^{3} \cdot e^{x + 1} d x

integral de 0 a 2 de (2x-1)/((x+3)^2)

\int_{0}^{2} \frac{2 x - 1}{( x + 3 ) ^{2}} d x

integral de-1 a 8 de \sqrt[3]{x^2}

integral de 0.4 a 1 de x(1-x)^8

\int_{0.4}^{1} x (1 - x)^{8} d x