интеграл от 1/(sqrt((x^2+4x+13)^3))

Решение

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 13 ) ^{3}} d x

\frac{x + 2}{9 x ^{2} + 4 x + 13} + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 13 ) ^{3}} d x

(x^{2} + 4 x + 13)^{3} = (x^{2} + 4 x + 13)^{\frac{3}{2}},

предполагает

(x^{2} + 4 x + 13) \geq 0

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 13 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Заполните квадрат

x^{2} + 4 x + 13 : (x + 2)^{2} + 9

= \int \frac{1}{( ( x + 2 ) ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{( u ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int \frac{1}{9 sec ( v )} d v

= \int \frac{1}{9 sec ( v )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{9} \cdot \int cos (v) d v

Использовать общий интеграл:

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{9} sin (v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{9} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 2)))

Упростите

\frac{1}{9} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 2))) : \frac{x + 2}{9 x ^{2} + 4 x + 13}

= \frac{x + 2}{9 x ^{2} + 4 x + 13}

Добавить константу к решению

= \frac{x + 2}{9 x ^{2} + 4 x + 13} + C