integral of cos(x)sin(x)sqrt(1+cos^2(x))

解

\int cos (x) sin (x) 1 + cos^{2} (x) d x

- \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}} + C

解答ステップ

\int cos (x) sin (x) 1 + cos^{2} (x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} sin (2 x) 1 + cos^{2} (x) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin (2 x) 1 + cos^{2} (x) d x

u置換積分法を適用する

: \int - 2 u^{2} d u

= \frac{1}{2} \cdot \int - 2 u^{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot \int u^{2} d u)

べき乗則を適用する

: \frac{u ^{3}}{3}

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot \frac{u ^{3}}{3})

代用を戻す

u = 1 + cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{( 1 + cos ^{2} ( x ) ) ^{3}}{3}

簡素化

\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{( 1 + cos ^{2} ( x ) ) ^{3}}{3} : - \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}}

= - \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}} + C