integral of 1/((x^2-2x+2)^2)

解

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}} d x

\frac{1}{2} (arctan (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - 1))) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}} d x

平方完成する

x^{2} - 2 x + 2 : (x - 1)^{2} + 1

= \int \frac{1}{( ( x - 1 ) ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

: \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

三角関数による置換を適用する

: \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

代用を戻す

= \frac{1}{2} (arctan (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - 1)))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (arctan (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - 1))) + C