интеграл от e^{-x/2}cos(x/2)

Решение

\int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{x}{2}) d x

- e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) + C

Шаги решения

\int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{x}{2}) d x

Примените правило возведения в степень:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{x}{2} = (x) 2^{- 1}

= \int e^{- x \cdot 2^{- 1}} cos (\frac{x}{2}) d x

\frac{x}{2} = x \frac{1}{2}

= \int e^{- x \cdot 2^{- 1}} cos (x \frac{1}{2}) d x

2^{- 1} = \frac{1}{2}

= \int e^{- \frac{1}{2} x} cos (\frac{1}{2} x) d x

Применить интегрирование по частям

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- \int e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x)

Применить интегрирование по частям

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- (- 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - \int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) d x))

Применить интегрирование по частям

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- (- 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - (2 e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x)))

Поэтому

- \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x + 2 sin (\frac{1}{2} x) e^{- \frac{1}{2} x} = 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- (- 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - (2 e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x)))

Отделять

\int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x

= - (e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) + e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x)) + 2 sin (\frac{1}{2} x) e^{- \frac{1}{2} x}

Упростите

- (e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) + e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x)) + 2 sin (\frac{1}{2} x) e^{- \frac{1}{2} x} : - e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x)

= - e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x)

Добавить константу к решению

= - e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) + C