What is the extreme f(x)=(x*e^x)/(e^x-e) ?

The extreme f(x)=(x*e^x)/(e^x-e) is

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extreme f(x)=(x*e^x)/(e^x-e)

extreme points

f (x) = \frac{x \cdot e ^{x}}{e ^{x} - e}

Maximum (- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, \frac{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{0} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e}), Minimum (- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, \frac{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{- 1} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e})

Solution steps

Find the critical points:

x = - W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, x = - W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1

Domain of

\frac{x \cdot e ^{x}}{e ^{x} - e} : x < 1 or x > 1

Find intervals:

Increasing

: - \infty < x < - W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1,

Decreasing

: - W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1 < x < 1,

Decreasing

: 1 < x < - W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1,

Increasing

: - W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1 < x < \infty

Plug the extreme point

x = - W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1

into

\frac{x \cdot e ^{x}}{e ^{x} - e} \Rightarrow y = \frac{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{0} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e}

Maximum (- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, \frac{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{0} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e})

Plug the extreme point

x = - W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1

into

\frac{x \cdot e ^{x}}{e ^{x} - e} \Rightarrow y = \frac{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{- 1} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e}

Minimum (- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, \frac{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{- 1} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e})

Maximum (- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, \frac{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{0} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{0} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e}), Minimum (- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1, \frac{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} ( - W _{- 1} ( - \frac{1}{e ^{2}} ) - 1 )}{e ^{- W_{- 1} (- \frac{1}{e ^{2}}) - 1} - e})

f (x) = - x^{2} + 5 x - 6

f (x) = - x^{2} + 5 x - 1

f (x) = \frac{0.9}{1 + 6 e ^{- 0.32 x}}

f (x, y) = x^{2} + 3 x y + 4.5 y^{2} + 4 x

5 x^{3} - 3 x^{5}