extreme f(x,y)=xye^{-x^2-y^2}

Solução

puntos extremos

f (x, y) = x y e^{- x^{2} - y^{2}}

Ponto de sela (0, 0), M \overset{a}{ˊ} ximo (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), M \overset{ı}{ˊ} nimo (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), M \overset{a}{ˊ} ximo (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Passos da solução

Encontrar os pontos críticos:

(0, 0), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = x (4 e^{- x^{2} - y^{2}} y^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} y)

D (x, y) = x y (4 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x) (4 e^{- x^{2} - y^{2}} y^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} y) - e^{2 (- x^{2} - y^{2})} (1 + 2 x)^{2} (- 1 + 2 x)^{2} (2 y + 1)^{2} (2 y - 1)^{2}

Verificar o sinal de em cada ponto crítico

Verificar o ponto crítico

(0, 0) :

Ponto de sela

Verificar o ponto crítico

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) :

Máximo

Verificar o ponto crítico

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) :

Mínimo

Verificar o ponto crítico

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) :

Mínimo

Verificar o ponto crítico

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) :

Máximo

Ponto de sela (0, 0), M \overset{a}{ˊ} ximo (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), M \overset{ı}{ˊ} nimo (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), M \overset{ı}{ˊ} nimo (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), M \overset{a}{ˊ} ximo (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

f (x) = x + 5

f (x, y) = e^{- y} (x^{2} + y^{2})

f (x) = x - x^{\frac{1}{3}}

f (x) = \frac{2}{( 1 + x ^{2} )}