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1/(cos^2(x))= 2/(3-3sin(x))

Lösung

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{2}{3 - 3 sin ( x )}

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{2}{3 - 3 sin ( x )}

Subtrahiere

\frac{2}{3 - 3 sin ( x )}

von beiden Seiten

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{2}{3 - 3 sin ( x )} = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{2}{3 - 3 sin ( x )} : - \frac{- 3 ( sin ( x ) - 1 ) - 2 cos ^{2} ( x )}{3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{2}{3 - 3 sin ( x )}

Faktorisiere

3 - 3 sin (x) : - 3 (sin (x) - 1)

3 - 3 sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (sin (x) - 1)

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{2}{- 3 ( sin ( x ) - 1 )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

cos^{2} (x), - 3 (sin (x) - 1) : - 3 cos^{2} (x) (sin (x) - 1)

cos^{2} (x), - 3 (sin (x) - 1)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

cos^{2} (x)

oder

- 3 (sin (x) - 1)

auftauchen.

= - 3 cos^{2} (x) (sin (x) - 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

- 3 cos^{2} (x) (sin (x) - 1)

Für

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- 3 (sin (x) - 1)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot ( - 3 ( sin ( x ) - 1 ) )}{cos ^{2} ( x ) ( - 3 ( sin ( x ) - 1 ) )} = \frac{- 3 ( sin ( x ) - 1 )}{- 3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )}

Für

\frac{2}{- 3 ( sin ( x ) - 1 )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (x)

\frac{2}{- 3 ( sin ( x ) - 1 )} = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{( - 3 ( sin ( x ) - 1 ) ) cos ^{2} ( x )} = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{- 3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )}

= \frac{- 3 ( sin ( x ) - 1 )}{- 3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )} - \frac{2 cos ^{2} ( x )}{- 3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 ( sin ( x ) - 1 ) - 2 cos ^{2} ( x )}{- 3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 3 ( sin ( x ) - 1 ) - 2 cos ^{2} ( x )}{3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )}

- \frac{- 3 ( sin ( x ) - 1 ) - 2 cos ^{2} ( x )}{3 cos ^{2} ( x ) ( sin ( x ) - 1 )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- (- 3 (sin (x) - 1) - 2 cos^{2} (x)) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- (- (- 1 + sin (x)) \cdot 3 - 2 cos^{2} (x))

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - (- (- 1 + sin (x)) \cdot 3 - 2 (1 - sin^{2} (x)))

Vereinfache

- (- (- 1 + sin (x)) \cdot 3 - 2 (1 - sin^{2} (x))) : - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 1

- (- (- 1 + sin (x)) \cdot 3 - 2 (1 - sin^{2} (x)))

Multipliziere aus

- (- 1 + sin (x)) \cdot 3 - 2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1

- (- 1 + sin (x)) \cdot 3 - 2 (1 - sin^{2} (x))

= - 3 (- 1 + sin (x)) - 2 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 3 (- 1 + sin (x)) : 3 - 3 sin (x)

- 3 (- 1 + sin (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 3, b = - 1, c = sin (x)

= - 3 (- 1) + (- 3) sin (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 3 \cdot 1 - 3 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin (x)

= 3 - 3 sin (x) - 2 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 2 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 + 2 sin^{2} (x)

- 2 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 sin^{2} (x)

= 3 - 3 sin (x) - 2 + 2 sin^{2} (x)

Vereinfache

3 - 3 sin (x) - 2 + 2 sin^{2} (x) : 2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1

3 - 3 sin (x) - 2 + 2 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 3 sin (x) + 2 sin^{2} (x) + 3 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

3 - 2 = 1

= 2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1

= 2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1

= - (2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1)

Setze Klammern

= - (2 sin^{2} (x)) - (- 3 sin (x)) - (1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 1

= - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 1

- 1 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = 1

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 1 )}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 1 )}{2 ( - 2 )}

3^{2} - 4 (- 2) (- 1) = 1

3^{2} - 4 (- 2) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 8 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 1}{- 2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 1}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 1 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(4x)=-1

cos (4 x) = - 1

0.94=0.33sin(x)+cos(x)

0.94 = 0.33 sin (x) + cos (x)

cos(x/2)=-1/2

cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}

cos(x)=sec(x)

cos (x) = sec (x)

cos^2(x)=2

cos^{2} (x) = 2