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provar (1-tan^2(x))/(sec^2(x))=cos(2x)

Solução

provar

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Manipular o lado direito

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

\frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} ) cos ^{2} ( x )}{1}

Simplificar

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

em uma fração:

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}{1}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

tan^{2} (x) + 1 = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )} = sec (θ)

cot (θ) + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} = csc (θ)

\frac{sin ( \frac{π}{2} + x )}{sin ( π - x )} = cot (x)

cos (x) \cdot csc (x) = cot (x)