English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярный >

доказывать (1+cot^2(θ))(1-cos^2(θ))=1

Решение

доказывать

(1 + cot^{2} (θ)) (1 - cos^{2} (θ)) = 1

Верно

Шаги решения

(1 + cot^{2} (θ)) (1 - cos^{2} (θ)) = 1

Манипуляции с левой стороны

(1 + cot^{2} (θ)) (1 - cos^{2} (θ))

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

(1 + cot^{2} (θ)) (1 - cos^{2} (θ))

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos^{2} (θ))

Упростить

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos^{2} (θ)) : \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos^{2} (θ))

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1) (- cos^{2} (θ) + 1)

Присоединить

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

к одной дроби:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Умножьте:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} (- cos^{2} (θ) + 1)

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

Перепишите используя тригонометрические тождества

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )} = 1

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

(1 - cos^{2} (θ)) (cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ)) = 1 - cos^{2} (θ)

(1 - cos^{2} (θ)) (cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ))

Упростить

cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ) : 1

cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) + 1

Добавьте похожие элементы:

cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = 0

= 1

= 1 \cdot (- cos^{2} (θ) + 1)

Умножьте:

(1 - cos^{2} (θ)) \cdot 1 = (1 - cos^{2} (θ))

= (1 - cos^{2} (θ))

Уберите скобки:

(a) = a

= 1 - cos^{2} (θ)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Примените правило

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

= 1

Мы показали, что две стороны могут принимать одинаковую форму

\Rightarrow Верно