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dimostrare (sin(x))/(cot(x)+csc(x))=1-cos(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ( x )}{cot ( x ) + csc ( x )} = 1 - cos (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ( x )}{cot ( x ) + csc ( x )} = 1 - cos (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ( x )}{cot ( x ) + csc ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{sin ( x )}{cot ( x ) + csc ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + csc ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}

Semplifica

\frac{sin ( x )}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) + 1}

\frac{sin ( x )}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}

Combinare le frazioni

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{c o s ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) + 1}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{1 + cos ( x )}

Manipolando il lato destro

1 - cos (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 - cos (x)

Moltiplica per

\frac{1 + cos ( x )}{1 + cos ( x )}

= \frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{1 + cos ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{1 + cos ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

tan (a) cos (a) = sin (a)

2 cot (x) cot (2 x) = cot^{2} (x) - 1

sin (x) (sec (x) + csc (x)) = tan (x) + 1

1 - cot (x) = (csc^{2} (x) - 2 cot (x))

cos^{2} (x) (tan^{2} (x) + 1) = 1