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dimostrare (1-cos(θ))(1+cos(θ))(1+cot^2(θ))=1

Soluzione

dimostrare

(1 - cos (θ)) (1 + cos (θ)) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

(1 - cos (θ)) (1 + cos (θ)) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

Manipolando il lato sinistro

(1 - cos (θ)) (1 + cos (θ)) (1 + cot^{2} (θ))

Esprimere con sen e cos

(1 + cos (θ)) (1 + cot^{2} (θ)) (1 - cos (θ))

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + cos (θ)) (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos (θ))

Semplifica

(1 + cos (θ)) (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos (θ)) : \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

(1 + cos (θ)) (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos (θ))

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (cos (θ) + 1) (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1) (- cos (θ) + 1)

Unisci

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

\frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )} = 1

\frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ)) (cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ)) = (1 + cos (θ)) (1 - cos (θ))

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ)) (cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ))

Semplifica

cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ) : 1

cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ)

Raggruppa termini simili

= cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) + 1

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = 0

= 1

= 1 \cdot (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

Moltiplicare:

(1 - cos (θ)) \cdot 1 = (1 - cos (θ))

= (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Fattorizza

1 - cos (θ) : - (cos (θ) - 1)

1 - cos (θ)

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (cos (θ) - 1)

= - \frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Fattorizza

1 - cos^{2} (θ) : - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

1 - cos^{2} (θ)

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (cos^{2} (θ) - 1)

Fattorizza

cos^{2} (θ) - 1 : (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

cos^{2} (θ) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= cos^{2} (θ) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - 1^{2} = (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) - 1 )}{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}

Cancella il fattore comune:

(1 + cos (θ)) (cos (θ) - 1)

= 1

= 1

= 1

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan^2(θ)-sin^2(θ)=sin^2(θ)tan^2(θ)dimostrare

tan^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ) tan^{2} (θ)

dimostrare cos^2(2u)-sin^2(2u)=cos(4u)dimostrare

cos^{2} (2 u) - sin^{2} (2 u) = cos (4 u)

dimostrare tan(u)cot(u)-cos^2(u)=sin^2(u)dimostrare

tan (u) cot (u) - cos^{2} (u) = sin^{2} (u)

dimostrare (1-sin^2(x))/(csc^2(x)-1)=sin^2(x)dimostrare

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x ) - 1} = sin^{2} (x)

dimostrare cos(2θ)=1-2sin^2(θ)dimostrare

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)