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dimostrare (sin^2(θ))/((1-cos(θ)))=1+cos(θ)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ^{2} ( θ )}{( 1 - cos ( θ ) )} = 1 + cos (θ)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} = 1 + cos (θ)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Semplifica

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} : cos (θ) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Fattorizza

1 - cos^{2} (θ) : - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

1 - cos^{2} (θ)

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (cos^{2} (θ) - 1)

Fattorizza

cos^{2} (θ) - 1 : (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

cos^{2} (θ) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= cos^{2} (θ) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - 1^{2} = (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )}

Cancellare

- \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )} : cos (θ) + 1

- \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )}

- cos (θ) + 1 = - (cos (θ) - 1)

= - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{- ( cos ( θ ) - 1 )}

Affinare

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{cos ( θ ) - 1}

Cancella il fattore comune:

cos (θ) - 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= 1 + cos (θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

cot (x) tan (x) = sec (x) csc (x)

\frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )} = tan (x) sec (x)

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) = 1 + 2 tan^{2} (θ)

sin (0) tan (0) + cos (0) = sec^{2} (0)

tan (x) (tan (x) + cot (x)) = sec^{2} (x)