English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

prove tan(y/2)=csc(y)-cot(y)

الحلّ

prove

tan (\frac{y}{2}) = csc (y) - cot (y)

صحيح

خطوات الحلّ

tan (\frac{y}{2}) = csc (y) - cot (y)

u = \frac{y}{2} :

على افتراض أنّ

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

أثبت أنّ:

صحيح

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

قم بالعمل على الطرف الأيمن

csc (2 u) - cot (2 u)

sin, cos :

عبّر بواسطة

- cot (2 u) + csc (2 u)

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + csc (2 u)

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

بسّط:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

بسّط:

\frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

وسٌع:

2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

افتح أقواس

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

فعّل قوانين سالب-موجب

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

sin (u) :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

:Use the basic trigonometric identity

= tan (u)

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

tan (\frac{y}{2}) = csc (y) - cot (y)

لذلك

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

sin^{2} (θ) + 1 = - 2 - cos^{2} (x)

sec (x) \cdot cot (x) - sin (x) = cos (x) \cdot cot (x)

\frac{cos ( θ )}{sec ( θ ) + tan ( θ )} = 1 - sin (θ)

\frac{sec ( θ )}{tan ( θ ) + cot ( θ )} = sin (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - 2 = 0