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Populaire Trigonométrie >

3cos^2(x)+5cos(x)-2<0

Solution

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Solution

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

La notation des intervalles

(arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn)

Décimale

1.23095 \dots + 2 πn < x < 5.05222 \dots + 2 πn

étapes des solutions

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Soit :

u = cos (x)

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0 : - 2 < u < \frac{1}{3}

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

Factoriser

3 u^{2} + 5 u - 2 : (3 u - 1) (u + 2)

3 u^{2} + 5 u - 2

Décomposer l'expression en groupes

3 u^{2} + 5 u - 2

Définition

Facteurs de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

6 : 2, 3

6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3

Ajouter 1 et le nombre

6

lui-même

1, 6

Les facteurs de

6

1, 2, 3, 6

Facteurs négatifs de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 6

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 6,

vérifier si

u + v = 5

Vérifier

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Faux

u = 6, v = - 1

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

= (3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

Factoriser

u

depuis

3 u^{2} - u : u (3 u - 1)

3 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (3 u - 1)

Factoriser

2

depuis

6 u - 2 : 2 (3 u - 1)

6 u - 2

Récrire

6

comme

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 u - 2

Factoriser le terme commun

2

= 2 (3 u - 1)

= u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)

Factoriser le terme commun

3 u - 1

= (3 u - 1) (u + 2)

(3 u - 1) (u + 2) < 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(3 u - 1) (u + 2)

Trouver les signes de

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

3 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

3 u = 1

3 u = 1

Diviser les deux côtés par

3

3 u = 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplifier

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

3 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

3 u < 1

3 u < 1

Diviser les deux côtés par

3

3 u < 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Simplifier

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

3 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

3 u > 1

3 u > 1

Diviser les deux côtés par

3

3 u > 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Simplifier

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Trouver les signes de

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 = 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplifier

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 < 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplifier

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 > 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplifier

u > - 2

u > - 2

Récapituler dans un tableau:

3 u - 1 u + 2 (3 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{3} - + - u = \frac{1}{3} 0 + 0 u > \frac{1}{3} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

< 0

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

Remplacer

u = cos (x)

- 2 < cos (x) < \frac{1}{3}

a < u < b

alors

a < u and u < b

- 2 < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{3}

- 2 < cos (x) :

Vrai pour toute

x \in R

- 2 < cos (x)

Transposer les termes des côtés

cos (x) > - 2

Plage de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Soit

y = cos (x)

Réunir les intervalles

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y > - 2

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

cos (x) < \frac{1}{3} : arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{3}

Pour

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Exemples populaires

cos(x)<= 1/2

cos (x) \leq \frac{1}{2}

1+cos(2t)>= 0

1 + cos (2 t) \geq 0

15cos(pi/(15)x-(2pi)/3)+95<= 105

15 cos (\frac{π}{15} x - \frac{2 π}{3}) + 95 \leq 105

sin(θ)>0,sec(θ)<0

sin (θ) > 0, sec (θ) < 0

arctan(x)>0

arctan (x) > 0