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Beliebt Trigonometrie >

solvefor θ,r^2cos^2(θ)+r^2sin^2(θ)<= 1

Lösung

löse nach

θ, r^{2} cos^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ) \leq 1

Lösung

- 1 \leq θ \leq 1

Schritte zur Lösung

r^{2} cos^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ) \leq 1

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) + r^{2} sin^{2} (θ) \leq 1

Vereinfache

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) + r^{2} sin^{2} (θ) : r^{2}

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) + r^{2} sin^{2} (θ)

Multipliziere aus

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) : r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ)

r^{2} (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = r^{2}, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= r^{2} \cdot 1 - r^{2} sin^{2} (θ)

= 1 \cdot r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ)

Multipliziere:

1 \cdot r^{2} = r^{2}

= r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ)

= r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- r^{2} sin^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ) = 0

= r^{2}

r^{2} \leq 1

Rewrite in standard form

r^{2} \leq 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

r^{2} - 1 \leq 1 - 1

Vereinfache

r^{2} - 1 \leq 0

r^{2} - 1 \leq 0

Faktorisiere

r^{2} - 1 : (r + 1) (r - 1)

r^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= r^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

r^{2} - 1^{2} = (r + 1) (r - 1)

= (r + 1) (r - 1)

(r + 1) (r - 1) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(r + 1) (r - 1)

Finde die Vorzeichen von

r + 1

r + 1 = 0 : r = - 1

r + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

r + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

r + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

r = - 1

r = - 1

r + 1 < 0 : r < - 1

r + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

r + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

r + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

r < - 1

r < - 1

r + 1 > 0 : r > - 1

r + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

r + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

r + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

r > - 1

r > - 1

Finde die Vorzeichen von

r - 1

r - 1 = 0 : r = 1

r - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

r - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

r - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

r = 1

r = 1

r - 1 < 0 : r < 1

r - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

r - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

r - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

r < 1

r < 1

r - 1 > 0 : r > 1

r - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

r - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

r - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

r > 1

r > 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

r + 1 r - 1 (r + 1) (r - 1) r < - 1 - - + r = - 1 0 - 0 - 1 < r < 1 + - - r = 1 + 00 r > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

r = - 1 or - 1 < r < 1 or r = 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- 1 \leq r < 1 or r = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

r = - 1

oder

- 1 < r < 1

- 1 \leq r < 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 1 \leq r < 1

oder

r = 1

- 1 \leq r \leq 1

- 1 \leq r \leq 1

- 1 \leq θ \leq 1

Beliebte Beispiele

1-2cos(2x)>sin^2(x)

1 - 2 cos (2 x) > sin^{2} (x)

cos^2(x)>= 1/2

cos^{2} (x) \geq \frac{1}{2}

cos^2(x)+(sqrt(2))/2 cos(x)>0

cos^{2} (x) + \frac{2}{2} cos (x) > 0

sin(x)>= 0.5

sin (x) \geq 0.5

cos(3x)<= (sqrt(3))/2

cos (3 x) \leq \frac{3}{2}