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sin(x)+cos(x)<= 2

Soluzione

sin (x) + cos (x) \leq 2

Vero per tutti x \in R

Notazione dell’intervallo

(- \infty, \infty)

Fasi della soluzione

sin (x) + cos (x) \leq 2

Usare l'identità seguente:

cos (x) + sin (x) = 2 sin (\frac{π}{4} + x)

2 sin (\frac{π}{4} + x) \leq 2

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (\frac{π}{4} + x) \leq 2

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + x )}{2} \leq \frac{2}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + x )}{2} \leq \frac{2}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + x )}{2} : sin (\frac{π}{4} + x)

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + x )}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= sin (\frac{π}{4} + x)

Semplificare

\frac{2}{2} : 2

\frac{2}{2}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Sottrai i numeri:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Applicare la regola della radice:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= 2

sin (\frac{π}{4} + x) \leq 2

sin (\frac{π}{4} + x) \leq 2

sin (\frac{π}{4} + x) \leq 2

Intervallo di

sin (\frac{π}{4} + x) : - 1 \leq sin (\frac{π}{4} + x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (\frac{π}{4} + x) \leq 1

- 1 \leq sin (\frac{π}{4} + x) \leq 1

sin (\frac{π}{4} + x) \leq 2 and - 1 \leq sin (\frac{π}{4} + x) \leq 1 : - 1 \leq sin (\frac{π}{4} + x) \leq 1

Lasciare

y = sin (\frac{π}{4} + x)

Combina gli intervalli

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq 2

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0

cos (2 x) > \frac{1}{2}

sin (x) \geq cos (x)

cos (x) < \frac{3}{2}

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π