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Popular Trigonometria >

sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)=0

Solução

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 0

Solução

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 0

Usando o método de substituição

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

u + u^{2} + u^{3} = 0

u + u^{2} + u^{3} = 0 : u = 0, u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

u + u^{2} + u^{3} = 0

Fatorar

u + u^{2} + u^{3} : u (u^{2} + u + 1)

u + u^{2} + u^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= u^{2} u + uu + u

Fatorar o termo comum

u

= u (u^{2} + u + 1)

u (u^{2} + u + 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u = 0 or u^{2} + u + 1 = 0

Resolver

u^{2} + u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

u^{2} + u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} + u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

Simplificar

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : 3 i

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 - 4

Subtrair:

1 - 4 = - 3

= - 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 3 i

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 1} : - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 3 i}{2}

Reescrever

\frac{- 1 + 3 i}{2}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

\frac{- 1 + 3 i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

u = \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 1} : - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 3 i}{2}

Reescrever

\frac{- 1 - 3 i}{2}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{- 1 - 3 i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

As soluções são

u = 0, u = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(θ)= 7/8

cos (θ) = \frac{7}{8}

sec(x)(2sin(x)+1)-2(2sin(x)+1)=0

sec (x) (2 sin (x) + 1) - 2 (2 sin (x) + 1) = 0

2-3cos(x)=5+3cos(x)

2 - 3 cos (x) = 5 + 3 cos (x)

sinh(x)= 6/5

sinh (x) = \frac{6}{5}

tan(2x)tan(x)=1

tan (2 x) tan (x) = 1