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arctan(x+1/3)+arctan(x-1/3)=arctan(2)

Lösung

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3}) = arctan (2)

Lösung

x = \frac{2}{3}

Schritte zur Lösung

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3}) = arctan (2)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )})

arctan (\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )}) = arctan (2)

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )}) = arctan (2)

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )} = tan (arctan (2))

tan (arctan (2)) = 2

tan (arctan (2))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (arctan (2)) = 2

Verwende die folgende Identität:

tan (arctan (x)) = x

= 2

= 2

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )} = 2

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )} = 2

Löse

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )} = 2 : x = - \frac{5}{3}, x = \frac{2}{3}

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )} = 2

Vereinfache

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )} : \frac{18 x}{- 9 x ^{2} + 10}

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )}

x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3} = 2 x

x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= x + x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= 2 x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )}

Multipliziere aus

1 - (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) : - x^{2} + \frac{10}{9}

1 - (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})

Multipliziere aus

- (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) : - x^{2} + \frac{1}{9}

Multipliziere aus

(x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) : x^{2} - \frac{1}{9}

(x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = \frac{1}{3}

= x^{2} - (\frac{1}{3})^{2}

(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

(\frac{1}{3})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{3 ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{3 ^{2}}

3^{2} = 9

= \frac{1}{9}

= x^{2} - \frac{1}{9}

= - (x^{2} - \frac{1}{9})

Setze Klammern

= - (x^{2}) - (- \frac{1}{9})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + \frac{1}{9}

= 1 - x^{2} + \frac{1}{9}

Ziehe Brüche zusammen

1 + \frac{1}{9} : \frac{10}{9}

1 + \frac{1}{9}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 9}{9}

= \frac{1 \cdot 9}{9} + \frac{1}{9}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 9 + 1}{9}

1 \cdot 9 + 1 = 10

1 \cdot 9 + 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 9 = 9

= 9 + 1

Addiere die Zahlen:

9 + 1 = 10

= 10

= \frac{10}{9}

= - x^{2} + \frac{10}{9}

= \frac{2 x}{- x ^{2} + \frac{10}{9}}

Füge

- x^{2} + \frac{10}{9}

zusammen:

\frac{- 9 x ^{2} + 10}{9}

- x^{2} + \frac{10}{9}

Wandle das Element in einen Bruch um:

x^{2} = \frac{x ^{2} 9}{9}

= - \frac{x ^{2} \cdot 9}{9} + \frac{10}{9}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- x ^{2} \cdot 9 + 10}{9}

= \frac{2 x}{\frac{- 9 x ^{2} + 10}{9}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 x \cdot 9}{- x ^{2} \cdot 9 + 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{18 x}{- 9 x ^{2} + 10}

\frac{18 x}{- 9 x ^{2} + 10} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

- 9 x^{2} + 10

\frac{18 x}{- 9 x ^{2} + 10} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

- 9 x^{2} + 10

\frac{18 x}{- 9 x ^{2} + 10} (- 9 x^{2} + 10) = 2 (- 9 x^{2} + 10)

Vereinfache

18 x = 2 (- 9 x^{2} + 10)

18 x = 2 (- 9 x^{2} + 10)

Löse

18 x = 2 (- 9 x^{2} + 10) : x = - \frac{5}{3}, x = \frac{2}{3}

18 x = 2 (- 9 x^{2} + 10)

Schreibe

2 (- 9 x^{2} + 10)

um:

- 18 x^{2} + 20

2 (- 9 x^{2} + 10)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 9 x^{2}, c = 10

= 2 (- 9 x^{2}) + 2 \cdot 10

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 9 x^{2} + 2 \cdot 10

Vereinfache

- 2 \cdot 9 x^{2} + 2 \cdot 10 : - 18 x^{2} + 20

- 2 \cdot 9 x^{2} + 2 \cdot 10

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= - 18 x^{2} + 2 \cdot 10

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= - 18 x^{2} + 20

= - 18 x^{2} + 20

18 x = - 18 x^{2} + 20

Tausche die Seiten

- 18 x^{2} + 20 = 18 x

Verschiebe

18 x

auf die linke Seite

- 18 x^{2} + 20 = 18 x

Subtrahiere

18 x

von beiden Seiten

- 18 x^{2} + 20 - 18 x = 18 x - 18 x

Vereinfache

- 18 x^{2} + 20 - 18 x = 0

- 18 x^{2} + 20 - 18 x = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 18 x^{2} - 18 x + 20 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 18 x^{2} - 18 x + 20 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 18, b = - 18, c = 20

x_{1, 2} = \frac{- ( - 18 ) \pm ( - 18 ) ^{2} - 4 ( - 18 ) \cdot 20}{2 ( - 18 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 18 ) \pm ( - 18 ) ^{2} - 4 ( - 18 ) \cdot 20}{2 ( - 18 )}

(- 18)^{2} - 4 (- 18) \cdot 20 = 42

(- 18)^{2} - 4 (- 18) \cdot 20

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 18)^{2} + 4 \cdot 18 \cdot 20

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 18)^{2} = 1 8^{2}

= 1 8^{2} + 4 \cdot 18 \cdot 20

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 18 \cdot 20 = 1440

= 1 8^{2} + 1440

1 8^{2} = 324

= 324 + 1440

Addiere die Zahlen:

324 + 1440 = 1764

= 1764

Faktorisiere die Zahl:

1764 = 4 2^{2}

= 4 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

4 2^{2} = 42

= 42

x_{1, 2} = \frac{- ( - 18 ) \pm 42}{2 ( - 18 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 18 ) + 42}{2 ( - 18 )}, x_{2} = \frac{- ( - 18 ) - 42}{2 ( - 18 )}

x = \frac{- ( - 18 ) + 42}{2 ( - 18 )} : - \frac{5}{3}

\frac{- ( - 18 ) + 42}{2 ( - 18 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{18 + 42}{- 2 \cdot 18}

Addiere die Zahlen:

18 + 42 = 60

= \frac{60}{- 2 \cdot 18}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{60}{- 36}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{60}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

12

= - \frac{5}{3}

x = \frac{- ( - 18 ) - 42}{2 ( - 18 )} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 18 ) - 42}{2 ( - 18 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{18 - 42}{- 2 \cdot 18}

Subtrahiere die Zahlen:

18 - 42 = - 24

= \frac{- 24}{- 2 \cdot 18}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{- 24}{- 36}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{24}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

12

= \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - \frac{5}{3}, x = \frac{2}{3}

x = - \frac{5}{3}, x = \frac{2}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = - \frac{10}{3}, x = \frac{10}{3}

Nimm den/die Nenner von

\frac{x + \frac{1}{3} + x - \frac{1}{3}}{1 - ( x + \frac{1}{3} ) ( x - \frac{1}{3} )}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) = 0 : x = - \frac{10}{3}, x = \frac{10}{3}

1 - (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) = 0

Schreibe

1 - (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})

um:

- x^{2} + \frac{10}{9}

1 - (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})

Multipliziere aus

- (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) : - x^{2} + \frac{1}{9}

Multipliziere aus

(x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) : x^{2} - \frac{1}{9}

(x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = \frac{1}{3}

= x^{2} - (\frac{1}{3})^{2}

(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

(\frac{1}{3})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{3 ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{3 ^{2}}

3^{2} = 9

= \frac{1}{9}

= x^{2} - \frac{1}{9}

= - (x^{2} - \frac{1}{9})

Setze Klammern

= - (x^{2}) - (- \frac{1}{9})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + \frac{1}{9}

= 1 - x^{2} + \frac{1}{9}

Ziehe Brüche zusammen

1 + \frac{1}{9} : \frac{10}{9}

1 + \frac{1}{9}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 9}{9}

= \frac{1 \cdot 9}{9} + \frac{1}{9}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 9 + 1}{9}

1 \cdot 9 + 1 = 10

1 \cdot 9 + 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 9 = 9

= 9 + 1

Addiere die Zahlen:

9 + 1 = 10

= 10

= \frac{10}{9}

= - x^{2} + \frac{10}{9}

- x^{2} + \frac{10}{9} = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- x^{2} + \frac{10}{9} = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 0, c = \frac{10}{9}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \frac{10}{9}}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \frac{10}{9}}{2 ( - 1 )}

0^{2} - 4 (- 1) \frac{10}{9} = \frac{2 10}{3}

0^{2} - 4 (- 1) \frac{10}{9}

Wende Regel an

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 1) \frac{10}{9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot \frac{10}{9}

4 \cdot 1 \cdot \frac{10}{9} = \frac{40}{9}

4 \cdot 1 \cdot \frac{10}{9}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{10 \cdot 4}{9}

Multipliziere die Zahlen:

10 \cdot 4 = 40

= 1 \cdot \frac{40}{9}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{9}

= \frac{40}{9}

= 0 + \frac{40}{9}

0 + \frac{40}{9} = \frac{40}{9}

= \frac{40}{9}

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{40}{9}

9 = 3

9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

3^{2} = 3

= 3

= \frac{40}{3}

40 = 210

40

Primfaktorzerlegung von

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

= 2^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 210

= \frac{2 10}{3}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- 0 + \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- 0 - \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- 0 + \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )} : - \frac{10}{3}

\frac{- 0 + \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + \frac{2 10}{3}}{- 2 \cdot 1}

- 0 + \frac{2 10}{3} = \frac{2 10}{3}

= \frac{\frac{2 10}{3}}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{2 10}{3}}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2 10}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{2 10}{3}}{2} = \frac{2 10}{3 \cdot 2}

= - \frac{2 10}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - \frac{2 10}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{10}{3}

x = \frac{- 0 - \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )} : \frac{10}{3}

\frac{- 0 - \frac{2 10}{3}}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - \frac{2 10}{3}}{- 2 \cdot 1}

- 0 - \frac{2 10}{3} = - \frac{2 10}{3}

= \frac{- \frac{2 10}{3}}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- \frac{2 10}{3}}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{2 10}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 10}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 10}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{10}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - \frac{10}{3}, x = \frac{10}{3}

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

x = - \frac{10}{3}, x = \frac{10}{3}

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

x = - \frac{5}{3}, x = \frac{2}{3}

x = - \frac{5}{3}, x = \frac{2}{3}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3}) = arctan (2)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

- \frac{5}{3} :

Falsch

- \frac{5}{3}

Setze ein

n = 1

- \frac{5}{3}

Setze

x = - \frac{5}{3}

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3}) = arctan (2)

ein, um zu lösen

arctan (- \frac{5}{3} + \frac{1}{3}) + arctan (- \frac{5}{3} - \frac{1}{3}) = arctan (2)

Fasse zusammen

- 2.03444 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{2}{3} :

Wahr

\frac{2}{3}

Setze ein

n = 1

\frac{2}{3}

Setze

x = \frac{2}{3}

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3}) = arctan (2)

ein, um zu lösen

arctan (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) + arctan (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = arctan (2)

Fasse zusammen

1.10714 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{2}{3}

Beliebte Beispiele

sin(θ)=0,64

sin (θ) = 0, 64

cos(3x)=cos(2x)

cos (3 x) = cos (2 x)

csc(x^2)= 4/3

csc (x^{2}) = \frac{4}{3}

2cos(x)cos^3(x)+cos^2(x)-sin^2(x)=cos(x)

2 cos (x) cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (x)

tan(θ)=(2sqrt(3))/(-2)

tan (θ) = \frac{2 3}{- 2}